分部積分法在高職教學(xué)中的教學(xué)淺談

一、分部積分法的引入

教學(xué)前，首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)的不定積分知識(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉求不定積分和求導(dǎo)的關(guān)系，不定積分基本積分公式，性質(zhì)和換元積分法與前面求導(dǎo)法則之間的關(guān)系，時(shí)刻提醒學(xué)生不定積分與求導(dǎo)是緊密聯(lián)系在一起的。教學(xué)過程中，在有關(guān)分部積分公式引入方面，大部分教師都是直接給出幾個(gè)如 ， 這樣目前積不出的例子，然后直接分析被積函數(shù)特點(diǎn)，最后由乘積求導(dǎo)法則推出分部積分公式。筆者認(rèn)為這樣引入多少有些牽強(qiáng)，給學(xué)生的感覺是為了引入公式而專門給出的例子，而不能讓學(xué)生明白引入分部積分法的重要性。在教學(xué)中我建議從基本初等函數(shù)求不定積分引入分部積分公式。具體教學(xué)實(shí)踐為：在前面的課程教學(xué)中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了好幾種積分方法，為什么還要繼續(xù)尋求積分方法？因?yàn)榈侥壳盀橹?，我們還不能解兩類基本初等函數(shù)（對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)）求不定積分的問題。如求不定積分 ， ，不能用直接積分法和第一換元法求出，而如果利用第二換元法，則上面的不定積分會(huì)轉(zhuǎn)化成求不定積分 ， ，這時(shí)再來分析被積函數(shù) ， 的特點(diǎn)。對被積函數(shù) ，如果被積函數(shù)是 就可以直接積出，但如何將 轉(zhuǎn)變成 ？也就是將 如何轉(zhuǎn)變?yōu)?？顯然學(xué)生立刻想到求導(dǎo)可以將 轉(zhuǎn)變?yōu)?，也就是要把 導(dǎo)一次而 不導(dǎo)，也就是“前導(dǎo)后不導(dǎo)”，這樣學(xué)生自然而然聯(lián)想到了函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則。最后再由乘積求導(dǎo)法則引出分部積分公式。這樣引入分部積分法就覺得很自然、很有必要，而且可以讓學(xué)生明白引入分部積分公式的緊迫性和重要性。

二、分部積分法在教學(xué)中的實(shí)踐

在教學(xué)實(shí)踐中，很多學(xué)生聽老師講例題的時(shí)候都感覺分部積分法與第一換元法相比較簡單，容易，因此學(xué)習(xí)的積極性很高，學(xué)習(xí)興趣很濃?？僧?dāng)自己操作的時(shí)，往往不知道如何下手，或者只會(huì)依葫蘆畫瓢，但一到綜合應(yīng)用時(shí)就不知什么時(shí)候該用何種方法，如何著手。學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性也迅速下降，對后面的教學(xué)產(chǎn)生嚴(yán)重影響。對于分部積分公式，教材上給出了兩個(gè)，分別是 、 。針對高職學(xué)生基礎(chǔ)較差，對抽象公式比較反感的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為可以只給出第一個(gè)公式，因?yàn)檫@個(gè)公式比較對稱，可以方便學(xué)生記憶，然后分析公式的特點(diǎn)，給出的不定積分不好積出，我們轉(zhuǎn)化到另一個(gè)我們會(huì)積的積分上，而轉(zhuǎn)化的重點(diǎn)就在于 的選取上，通過對 的局部求導(dǎo)，能使積分轉(zhuǎn)化到我們前面所學(xué)的方法上，即 。

分部積分公式雖然簡單，但只是抽象的給出了積分轉(zhuǎn)化的方法，如何具體的操作，還需要通過大量的例題去引導(dǎo)學(xué)生，而這也是學(xué)生最感興趣的地方，教師需要很好的抓住學(xué)生的這個(gè)心理。教師在舉例的時(shí)候要由簡到難，循序漸進(jìn)，切忌跳躍，從簡單的入手，仔細(xì)分析如何去選取 ，教師也可從反面來看做一做，如果 選取不當(dāng)，會(huì)使積分變得更加復(fù)雜，指導(dǎo)學(xué)生得出：在實(shí)際操作中，如果選取的 會(huì)使積分變的更復(fù)雜，則說明選的 出現(xiàn)了錯(cuò)誤，需要重新再來選取。并且通過大量例題，教師還要引導(dǎo)學(xué)生一起去歸納總結(jié)，得出一般情況下不同類函數(shù)相乘求不定積分時(shí) 的選取方法。如：

當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和三角函數(shù)乘積時(shí)，通常選冪函數(shù)為 。

當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反三角函數(shù)乘積時(shí)通常選對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)為 。

三、分部積分法的課后總結(jié)

當(dāng)分部積分法教學(xué)結(jié)束后，整個(gè)不定積分計(jì)算的學(xué)習(xí)就結(jié)束了，這時(shí)我們要帶領(lǐng)學(xué)生重新再整理所學(xué)的積分方法，讓學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容的安排及計(jì)算不定積分的基本思路。讓學(xué)生思考這樣的問題：1、在導(dǎo)數(shù)章節(jié)中，我們先給出了乘積求導(dǎo)公式，再學(xué)習(xí)了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，為什么在不定積分章節(jié)的學(xué)習(xí)中則先學(xué)習(xí)了換元積分公式，而后才學(xué)習(xí)分部積分公式呢，教材這樣安排的目的何在？能不能先學(xué)分部積分發(fā)，再來學(xué)換元積分法呢？2、對于這幾種積分方法，當(dāng)給出一個(gè)不定積分時(shí)，我們?nèi)绾芜x取正確的積分方法？對于第一個(gè)問題，由于分部積分法中不僅要正確的選擇 ，還需要再湊出 ，而 則用到了湊微元的方法，因此我們需要先學(xué)習(xí)換元法。這樣可使學(xué)生在與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行對比中，發(fā)覺教材內(nèi)容安排的合理性。同時(shí)筆者認(rèn)為求不定積分的思路，也是首先考慮能否用直接積分法，再考慮換元積分法，最后來考慮分部積分法。如在分部積分法教學(xué)后段上，老師們都會(huì)講這樣一個(gè)例子：求不定積分 ，并把此例歸結(jié)為綜合利用換元積分法和分部積分法的典型例子，其具體解題過程如下：

解：令 ，則

原式= = 。

筆者認(rèn)為這種說法并不一定準(zhǔn)確。在解題時(shí)，我們首先想到了應(yīng)用換元法去掉難處理的因子 ，然后才發(fā)現(xiàn)需要再用分部積分法來做。實(shí)際上我們可以直接利用分部積分法來做，具體解題過程為：

解： =

從此例也可從側(cè)面看出我們對不定積分求解的一般思路。

參考文獻(xiàn)

[1]薛秋. 不定積分常用技巧初探[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009（1）

[2]馮天祥. 高職院校經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中湊微分法的教學(xué)研究. 系統(tǒng)信息工程，2010（1）

[3]陳繼理. 不定積分教學(xué)的二個(gè)注記. 麗水師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2010（5）

[4]夏磊. 不定積分在高職教學(xué)中的教學(xué)淺談. 教育研究與實(shí)踐，2008（12）