收縮原理的證明-教育論文

其實,我們會已經(jīng)在許多地方用到這個關于擴張的結(jié)論:周長一定的封閉曲線中,圓所圍成的面積最大;表面積一定的幾何體中,球體的體積最大(或表述為:面積一定的平面圖形,圓的周長最短;體積一定的封閉幾何體中,球的表面積最小)。
本文就是給這個結(jié)論一個證明。
為了證明這個結(jié)論,把它分為如下幾個引理分步來完成。
引理1、周長為定值的三角形中,正三角形所圍成的面積最大。
證明:因為三角形三邊都不固定,不妨先設一個邊長BC為定值,點A變化。因為周長一定,則折線段為定值。由根據(jù)橢圓定義,點A就在以B、C為焦點的橢圓上。如圖,顯然面積最大時,則點A離BC距離最遠,顯然此點是短軸的端點,此時三角形為以BC為底邊的等腰三角形,變換后的三角形面積比初始的三角形所覆蓋的面積大。即相鄰兩邊長度相等時,凸多邊形所圍成的面積較大。
變換之后的三角形ABC中,再以新的邊長CA長度不變,點B變化,同理可知點B在以C、A為焦點的橢圓上,當點B為短軸的兩個端點時,三角形的覆蓋面積最大;上述變換之后的三角形ABC中,再以新的邊長AB長度不變,點C變化,同理可知點C在以A、B為焦點的橢圓上,當點C為短軸的兩個端點時,三角形的覆蓋面積最大;…。只要有兩邊長度不相等,我們就重復這個變換。最后,只有當且僅當三角形三邊長都相等時,所圍成的面積才不再增大,即正三角形的覆蓋面積最大。
這個變換,我們可以得出,當三角形的邊長之間的長度不相等時,那么這個三角形的周長不變的前提下它的面積仍然可以變大;三角形三邊的長度相差越小,此三角形的覆蓋面積就越大;當三邊長度相等時面積最大。
引理2、周長為定值的平面多邊形中,邊長都相等時的凸多邊形所圍成的面積較大,當為正多邊形時所圍成的面積最大。
顯然,凸多邊形的所圍面積大于凹多邊形面積。
以下我們所說圖形均為凸多邊形。
由引理1我們知道,多邊形的相鄰兩邊長相等時,所圍面積會增大。順次改變相鄰的多邊形兩邊,…,當我們不斷重復這個變換,只有當且僅當多邊形的邊長全部相等時,面積不再增大,即周長為定值的的多邊形中,邊長相等的多邊形的覆蓋面積較大。
下面證明,當這個邊長都相等的正多邊形不是正多邊形時,所圍面積還可以增大。
當這個邊長相等的多邊形不是正多邊形時,如圖不妨取相鄰的四個頂點A、B、C、D,連結(jié)AD、BD,延長BC,在其延長線上取一點設為C',為計算方便起見,設,,多邊形的邊長,對角線。
在中由余弦定理可得
即
“=”成立,當且僅當,即,也就是A、B、C、D四點共圓時面積較大,這時,我們易證,,而同弧AD得,弦長得)。
依據(jù)這個變換,從而我們可知,這個邊長相等的多邊形的面積只要相鄰兩個內(nèi)角不等,那么它的覆蓋面積就可以增加;只有任意相鄰的內(nèi)角相等時,這個邊長相等多邊形的面積才不會再增加。
這個邊長相等的多邊形邊長相等,內(nèi)角也相等,顯然就是圓的內(nèi)接正多邊形。
引理3、周長為定值的平面正多邊形中,邊數(shù)越多,所圍成的面積越大。
證明:在原正n邊形中,不妨取邊BC的中點B,由引理1知,在長度和不變的情況下,當時,新的三角形的面積大于原三角形的所圍面積,顯然此時多邊形的邊的個數(shù)已經(jīng)比原多邊形多了一條邊,由引理2知正多邊形的所圍面積最大,故可得周長為定值的正n+1邊形比正n邊形所圍成的面積大。依此步驟,引理3顯然得證。
周長一定的封閉曲線,我們可以經(jīng)過細化分割成,近似成為一個n邊形,由引理2知,正n邊形,所圍成的面積最大;由引理3知,正多邊形的邊數(shù)越多,所圍成的面積越大,當邊數(shù)趨向于無窮大時,可知此時的封閉曲線為圓。于是我們得:
定理1:周長一定的平面封閉曲線中,圓所圍成的面積最大。
定理2:表面積一定的幾何體中,球體的體積最大。
利用這個結(jié)論,我們便可以解釋,當液體滴下時,在空間的形狀為球,那是因為液體表面張力的緣故,相同的體積,球的表面積最小。
細數(shù),結(jié)論的證明過程,并無太多的技巧,用到的幾乎都是分步、遞推、分割、極限等,這些我們常見的數(shù)學基本的思想方法。
數(shù)學,重要的就是它的思想,只要有了解決問題的思想,約定了它的解決程序,解答過程其實很簡單。