遞推公式解數(shù)列問題的模式探究

摘要：本文給予十種遞推公式模型，是對(duì)參考文獻(xiàn)和各省高考試題的提煉。由于參考文獻(xiàn)中所給出的遞推解法都是籠統(tǒng)的，分類討論也不夠完善。經(jīng)過對(duì)每一遞推公式仔細(xì)的揣摩、詳盡的分類討論，給出了變式模型等較為完善的解題模式。通過對(duì)各種類型模式的探究，提煉了解決遞推問題的常用方法。

關(guān)鍵詞：遞推公式  數(shù)列  解題模式  探究

數(shù)列是初等數(shù)學(xué)很重要的內(nèi)容之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在高中階段，等差數(shù)列、等比數(shù)列是最基本的數(shù)列。但是在許多題目往往都不單純的考察等差、等比數(shù)列的問題，而是以遞推公式的形式給出題設(shè)情景，需要通過題目條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助于等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式進(jìn)行解答。遞推數(shù)列是一類廣泛而復(fù)雜的問題，其形式多樣，邏輯性強(qiáng)，求解方法開放、靈活。如果沒有一個(gè)較好的方法，不但不能很好的解決問題，反而會(huì)將簡單問題復(fù)雜化，耗費(fèi)大量時(shí)間也達(dá)不到解題效果。但是有很多遞推公式的數(shù)列問題還是有著固定的解題模式可尋的，以下以十種具有代表性的遞推公式模型為例，進(jìn)行深入探究其解題模式，整個(gè)分類討論過程圍繞著高中所學(xué)（等差數(shù)列為常數(shù)、等比數(shù)列、周期數(shù)列 或 ）三種數(shù)列通項(xiàng)公式形式展開，探討一些解題策略和模式解法。

一、遞推公式為 （其中 為常數(shù)）

探索：這種遞推公式類似于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的展開式，因此我們可以采取待定系數(shù)法，換元法

把它化為等比數(shù)列進(jìn)行求解。

解題模式：(1)當(dāng) 時(shí)，遞推公式變?yōu)?，∴  即 為等差數(shù)列,

其公差為 ；

(2)當(dāng) 時(shí)，原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ，將其展開后與 的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，得 ，換元化為等比數(shù)列求解 ；

例1、已知數(shù)列 中， ， ，試求 的通項(xiàng)公式？

解：設(shè)遞推公式 可以轉(zhuǎn)化為 即 故遞推公式為 ,令 ，則 ,且 。所以 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則 ,所以 。

二、遞推公式為

探索：這類遞推公式中出現(xiàn)了函數(shù) ，解題過程中，我們通常是要看 的形式，把它消

去或者進(jìn)行變量集中，引入輔助數(shù)列 ，通過對(duì)輔助數(shù)列的研究從而達(dá)到解決問題的效果。

解題模式：對(duì)于以上公式求 可以做下列探討:

(1)當(dāng) 時(shí)，若 的和是可求的，由 得：

時(shí)， ， ， ，  以上各式相加得： ；

(2)當(dāng) 、 時(shí),遞推公式變?yōu)? ,即 ,

由以上兩等式可得, ,則數(shù)列{ }為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論；

                      (3)當(dāng) ，且 為 的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為 型，通過

累加來求出通項(xiàng)，得 ，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng)；

(4)當(dāng) 、且 時(shí)，通過構(gòu)造新數(shù)列 ，消去 的差異，通過求解 達(dá)到解

決 的效果  其中最常用化歸法（設(shè) 根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等）,或者階差法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例2、已知數(shù)列 滿足 ,證明 。

證明：由已知得： ，從而有：

=   。

例3、已知， ,且 滿足 ,試求數(shù)列 的通項(xiàng)公式？

解：∵ ，∴ ，即 ，

        ∴  _，∴ 是以2為周期的周期數(shù)列，

     ∴ ， 。

例4、數(shù)列 滿足 , ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式？

解：由    ，∴ 時(shí)， ，兩式相減得： .

∴ 構(gòu)成以 為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列; 構(gòu)成以 為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴ ， 

  。       ∴

例5、數(shù)列 中 ， ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ？

解法一：（階差法）,由  

得： ，這 個(gè)式子兩邊相加，

即得：

                  。

解法二、（化歸法），由 ，兩邊同除以 ，得： ，

令： ，則 ，于是上式可化為 ，易知此差是等比數(shù)列，從而可用累差迭加法可求得輔助數(shù)列 的通項(xiàng) ，然后由 即可求得通項(xiàng) 。

三、遞推公式為

探索：解決數(shù)列問題關(guān)鍵在于求通項(xiàng)公式，這類遞推公式可以采取變量集中的方法，將 與

分開，若 的積是可求的，可用多式相乘法求得 。

解題模式：∵ 的積是可求的,由 ，得

,即   ， … … ,將以上 個(gè)等式相乘可得 從而求出 的通項(xiàng)。

例6、在數(shù)列 中， ≥2），試求 的通項(xiàng)公式？

解：由條件知 ，分別令 ，代入上式得 個(gè)等式累乘

之，即

又 ，  。

四、遞推公式為

探索：此類問題應(yīng)該分情況討論，只要采取多式相除的辦法求解。

解題模模式:(1)若 ( 為常數(shù))，則有 ， ，即

 可知 ∴數(shù)列 是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論；

(2)若 為 的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，由通過逐差法 ，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng)。

例7、已知數(shù)列 滿足： ,求此數(shù)列的通項(xiàng)公？

   解：由 ，可得 ，將以上兩等式相除得 x =  ,

 ∴ 是以首項(xiàng)為 ，公比為 等比數(shù)列， 是以首項(xiàng)為 公比為 的等比數(shù)列?！?，∴  ，同理 ，

∴當(dāng) 時(shí)：  ;當(dāng) 時(shí)， 。

五、遞推公式為 ( 為常數(shù))

探索：在數(shù)列 中，告訴一個(gè)關(guān)于相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系，稱之為二級(jí)遞推式，種

情形往往借助于待定系數(shù)法，將其化為等比數(shù)列再求解。

解題模式：(1)當(dāng) 時(shí)， ，及  用轉(zhuǎn)

化法直接變成等比數(shù)列進(jìn)行求解；

(2)當(dāng) 時(shí)   用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列再進(jìn)行求解，

令： ，展開后讓其對(duì)應(yīng)系數(shù)與 的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可得： ，于是 、 可解，因此 是等比數(shù)列。從而求{a_n.}。

例8、數(shù)列 中，若 ,且滿足 ,試求 的通項(xiàng)公式？

解：把 變形為 。則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而： ，利用類型六的方法可得 。

例9、已知數(shù)列 滿足 ,且 ,試求 的通項(xiàng)公式？

解：令 ,即 ,與已知 比較，則有 ,故 或 下面我們?nèi)∑渲幸唤M 來運(yùn)算，即有 ,則數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故 ,即 ,利用類型二(4)的方法，可得： 。

六、遞推公式為

探索：此類數(shù)列出現(xiàn)的形式，稱為高階數(shù)列。求 時(shí)往往要進(jìn)行降次后再進(jìn)行求解，主要

用到取對(duì)數(shù)的方法。

解題模式：∵ ，且p>0， ，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)可得 ，設(shè) 與 ，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可求得 ,   ∴ 是一個(gè)等比數(shù)列，通過求解該數(shù)列從而可求 。

例10、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 滿足 ， .求數(shù)列 的通項(xiàng)公式？

解：兩邊取對(duì)數(shù)得： ， ，

設(shè) ，則 ，∴ 是以2為公比的等比數(shù)列，

∵ ， ， ， ，∴ 。

七、遞推公式為 （ 為常數(shù)，且 ）

探索：此類遞推數(shù)列出現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)乘積的形式，在求解 的過程中，可以嘗試在等號(hào)兩邊同時(shí)

除以這兩項(xiàng)的乘積，問題就得已轉(zhuǎn)化。

解題模式：∵ ，且 ，∴ ，則在等號(hào)兩邊同時(shí)除以 可以得： ； 令 ，則原問題就可轉(zhuǎn)化為 型，采取待定系數(shù)的方法即可求解 。

變式：如 （ ），且 （ ），求 。

探索：此類問題也可采用歸納法求解，但過程繁雜。然而用取倒數(shù)、化歸法構(gòu)造新

的輔助數(shù)列來求解較為快捷。

解題模式：由 ，可得 ，兩邊同除以 ，得 ，即有 ，則數(shù)列 是以首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，所以 ，即： 。

例11、數(shù)列 中，已知 ，且滿足關(guān)系式 試求通向公式 。

    解:∵ ,則在等號(hào)兩邊同時(shí)除以 可以得： ，

     令 ,∴ ，設(shè) ，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可解

得：  ，∴ 是以 ，公比 的等比數(shù)列?！?，

又∵ ， ，∴

八、遞推公式為 （ 為常數(shù)）

探索：此類遞推公式較為復(fù)雜，是所有遞推公式中較難的模型，我們可以用不動(dòng)點(diǎn)法求解，借助與分類討論的思想，問題就得以簡化。

解題模式：對(duì)于數(shù)列 ， ∈常數(shù), ），其特征方程為 ，變形為 ……(*)

(1)若(*)有二重根 ，則可令 （其中 是待定常數(shù)），代入 值可求

得 值。這樣數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，于是可求 。

(2):若(*)有二異根 ，則可令 （其中 是待定常數(shù)），代入 的值可

求得 值。這樣數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，于是這樣可求得 。

例12、已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng) 。

解:其特征方程為 ，即 ，解得 ，令   ,由 得 ，求得 ，

∴數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以 為公差的等差數(shù)列， ，  。

例13、已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng) 。

解:其特征方程為 ，化簡得 ，解得 ，令   ,

由 得 ，可得 ， 數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列， ，    。

九、遞推公式為

探索：有關(guān)商型地推公式的問題，一般要想到取倒數(shù)、分離變量，將

與 分開，構(gòu)造新函數(shù)與新數(shù)列進(jìn)行求解。

解提模式：由  ，可得

     ，令 ，M(n) , K(n) ，則原遞推公式就轉(zhuǎn)

化為：  用待定系數(shù)法即可求得 ，從而求得 。

變式：如 ， ，求 。

探索：此類遞推公式中，出現(xiàn)了相鄰三項(xiàng)的商型關(guān)系，在解題時(shí)，如果想直接找到三項(xiàng)的關(guān)系，

是很困難的。可以采取去分母辦法，將二級(jí)遞推公式轉(zhuǎn)化為一級(jí)遞推公式，最后轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷跀?shù)列進(jìn)行求解。

解題模式：由 ，得 ， ，將以上兩個(gè)等式相乘可以得： ，∴ ，∴ ，  令 ，

則 ，及 ，∴ ，∴ 是以6為周期的周期數(shù)列。

例14、已知數(shù)列 滿足： 求數(shù)列的通項(xiàng)公 。

解：由 ， ，從而

2+ ，令  ∴ + ，設(shè) ，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得 ，因此數(shù)列 是以 為首項(xiàng)q= 為公比的等比數(shù)列，∴   又∵ ，即    ∴ 。

十、遞推公式為 與 的關(guān)系式(或 )

探索：這種公式中既有 又有 的遞推公式稱之為混合遞推公式，可以設(shè)法將 或者 消

去，得到一個(gè)只含 或者 的遞推關(guān)系，借助于 與 的關(guān)系求解。

解題模式:利用 與 消去

或與 消去 進(jìn)行求解。

(1)若條件中 的最高次為一次,此時(shí)往往消去 ，從所得的數(shù)列前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的關(guān)系式中發(fā)

現(xiàn)規(guī)律，或通過構(gòu)造輔助數(shù)列，再求出 。

(2)若條件中 的最高次為二次。此時(shí)往往利用 （ ≥2）消去 ，尋找 與

的關(guān)系，或通過構(gòu)造輔助數(shù)列，先求出 ，從而求出 。

例15、若數(shù)列 對(duì)任意 ，滿足 ，求數(shù)列 的通項(xiàng) 。

解：當(dāng) 時(shí)， ，∴ ,當(dāng) ≥2時(shí)，

           ∴ ，即 是等比數(shù)列，   ∴ 。

例16、數(shù)列 中 ， （ ≥2），求數(shù)列 的通項(xiàng) 。

解：由題設(shè)知： （ ≥2），即 （ ≥2）

   從而： （ ≥2），可知輔助數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公差為2的等差數(shù)列，故有 ， ∴ ， （ ≥2），

∴  （ ≥2），

∴所求通項(xiàng)公式為 ，∴ 。

以上給出了十種具有代表性的遞推公式模型解法討論，當(dāng)然，不同類型的題目需要我們有不同的解題思路，并不是每一道題目都能用以上的方法解決 。同一遞推公式在參數(shù)不同的條件下解題模式也有差異。因此，在解決遞推問題時(shí)，首先應(yīng)該觀其題而識(shí)其模，利用化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將陌生問題熟悉化，復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，善于進(jìn)行模式轉(zhuǎn)化，靈活的運(yùn)用模式變形，還應(yīng)該與化歸法、待定系數(shù)法、公式法、累加法、累乘法、取對(duì)數(shù)法、取倒數(shù)法、以及不動(dòng)點(diǎn)法等等解決遞推問題的常用方法進(jìn)行整合思考，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。通過化歸思想，可以將看似不常規(guī)的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為常見的問題進(jìn)行解答，采取模式化訓(xùn)練讓大家解一題而會(huì)解一類題，而不是因?yàn)榻忸}而解題，達(dá)到觸類旁通的效果。這才是能脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高解題能力的有效策略。

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