換元法在復(fù)積分中的應(yīng)用

摘要：工科復(fù)變函數(shù)是大學(xué)工科類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它是高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的延伸。與高等數(shù)學(xué)相比，在計(jì)算積分方法，積分性質(zhì)等方面的存在巨大區(qū)別，在授課過(guò)程中，指出它們的區(qū)別和聯(lián)系將有利于加深學(xué)生對(duì)復(fù)積分的理解。

關(guān)鍵詞：復(fù)積分；曲線積分；換元法；

中圖分類號(hào)：O13

在復(fù)變函數(shù)的解析理論中，復(fù)積分是研究解析函數(shù)的重要工具，研究復(fù)級(jí)數(shù)理論的重要基礎(chǔ)，其計(jì)算方法多種多樣，學(xué)生很難系統(tǒng)理解和應(yīng)用這一重要知識(shí)模塊。因此，在教學(xué)過(guò)程中，要靈活采用對(duì)比教學(xué)法，對(duì)所講授的復(fù)積分內(nèi)容進(jìn)行縱橫對(duì)比，讓學(xué)生認(rèn)清它們的異同，便于把握復(fù)積分理論與計(jì)算中的本質(zhì)。本文著重對(duì)復(fù)積分與實(shí)積分的換元法進(jìn)行對(duì)比研究，并給予總結(jié)。

先從一個(gè)具體的例子出發(fā)：試計(jì)算復(fù)積分 為 逆時(shí)針路徑。由于被積函數(shù)在 內(nèi)不解析，此題不能通過(guò)配元法（第一類換元）找原函數(shù)來(lái)解答。然而，可利用對(duì)數(shù)留數(shù)定理求解知，

另一方面，作變換 ，則將 映射為 ： 順時(shí)針路徑。

由此可見(jiàn)，在計(jì)算形如 的復(fù)積分時(shí)，往往不像計(jì)算定積分時(shí)，通過(guò)配元法計(jì)算，而是利用對(duì)數(shù)留數(shù)定理計(jì)算。另一方面，適當(dāng)換元可以簡(jiǎn)化復(fù)積分的計(jì)算，但換元過(guò)程中，曲線方向的確定是一個(gè)容易出錯(cuò)的地方。

例2. 計(jì)算復(fù)積分分 為正向圓周 。

解：作變換 ，則將 映射為 ：反向圓周 。因此，

例3. 計(jì)算復(fù)積分分 為正向圓周 。

解：類似例2，作變換 ，可得

其中 為反向圓周 。

類似，還有許多復(fù)積分在變換 作用下，使計(jì)算更為簡(jiǎn)單，比如

以及 等，其中積分路徑是正向圓周。

總之，通過(guò)作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化簡(jiǎn)復(fù)積分的計(jì)算，是復(fù)積分計(jì)算中的重要方法。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)要求學(xué)生掌握這些計(jì)算方法，著力培養(yǎng)其計(jì)算能力，進(jìn)而更牢固掌握這些知識(shí)點(diǎn)。在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的過(guò)程中，注意跟高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容及方法做比較，勢(shì)必會(huì)使我們的復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識(shí)容易掌握的多。