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充要條件的判斷與證明
作者:王貴友來源:原創(chuàng)日期:2012-08-30人氣:2089
若條件與結(jié)論互相不能推出,則既不是充分條件也不是必要條件。
(三)理解3:從集合觀點看
二、充要關(guān)系的判斷
(一)定義法:根據(jù)推出式及定義判斷
例1.指出下列各命題中,命題p是命題q的_________條件。
(1)p:兩個三角形的面積相等,q:兩個三角形全等。
(1)∵條件p不能推出結(jié)論q,結(jié)論q能夠推出條件p
∴p是q的必要而不充分條件
(2)∵(條件p)能夠推出(結(jié)論q)
(結(jié)論q)不能夠推出(條件p)
∴p是q的充分而不必要條件
(3)∵
∴p是q的充分必要條件
說明:用定義法進行判斷有以下兩個步驟:
(1)分清條件與結(jié)論(2)找推式并判斷真假(3)根據(jù)定義得結(jié)論。
(二)等價法:將命題轉(zhuǎn)化為與之等價又便與判斷真假的命題
例2.曲線C的方程為F(x,y)=0
命題甲:點P的坐標適合方程F(x,y)=0
命題乙:點P在曲線C上
命題丙:點Q的坐標不適合方程F(x,y)=0
命題?。狐cQ不在曲線C上
已知:命題甲是命題乙的必要而不充分條件,試判斷命題丙與命題丁之間的充要關(guān)系。
解析:∵命題甲是命題乙的必要而不充分條件,即“點P在曲線C上,則點P坐標適合方程F(x,y)=0”為真,∴其逆否命題“點P坐標不適合方程F(x,y)=0,則點P不在曲線C上”也為真?!嗝}丙可以推出命題丁,又命題甲是命題乙的不充分條件,∴命題丁不能推出命題丙?!嗝}丙是命題丁的充分而不必要條件,命題丁是命題丙的必要而不充分條件。
說明:對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題,一般采用等價轉(zhuǎn)化法。
說明:用集合法判斷時,常用圖示法,形象、直觀的簡化過程,降低思維難度,便于學生理解接受。
(四)邏輯判斷法
例4.下列電路圖中,閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件?
解析:
①圖中,A閉合,B亮;而B亮時,A不一定閉合。所以A是B的充分而不必要條件。
②圖中,A閉合,B不一定亮;而B亮時,A必須閉合。所以A是B的必要而不充分條件。③圖中,A閉合,B亮;而B亮時,A必閉合。所以A是B的充分必要條件。
④圖中,A閉合,B不一定亮;而B亮時,A不一定閉合。所以A是B的非充分非必要條件。
三、利用充要條件等價轉(zhuǎn)化命題
直接求解某一個問題比較困難時,可以先尋求它的充要條件,使原問題等價轉(zhuǎn)化成一個比較熟悉的問題,從而使問題順利得到解決。
例5.如果一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍。
解析:方程有兩個不相等實數(shù)根的充要條件為
從而求得k的取值范圍是。
說明:判斷充要條件的關(guān)鍵是抓住推出式,而合理利用數(shù)學定理、集合的包含關(guān)系、邏輯推理證明是判斷充要條件的主要工具。
在充要條件的教學中,對定義的正確理解是基礎(chǔ),正確判斷充要關(guān)系是重點,利用充要關(guān)系解決相關(guān)問題是關(guān)鍵。所以在教學中,要使各類知識融會貫通,合理培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。
(三)理解3:從集合觀點看
二、充要關(guān)系的判斷
(一)定義法:根據(jù)推出式及定義判斷
例1.指出下列各命題中,命題p是命題q的_________條件。
(1)p:兩個三角形的面積相等,q:兩個三角形全等。
(1)∵條件p不能推出結(jié)論q,結(jié)論q能夠推出條件p
∴p是q的必要而不充分條件
(2)∵(條件p)能夠推出(結(jié)論q)
(結(jié)論q)不能夠推出(條件p)
∴p是q的充分而不必要條件
(3)∵
∴p是q的充分必要條件
說明:用定義法進行判斷有以下兩個步驟:
(1)分清條件與結(jié)論(2)找推式并判斷真假(3)根據(jù)定義得結(jié)論。
(二)等價法:將命題轉(zhuǎn)化為與之等價又便與判斷真假的命題
例2.曲線C的方程為F(x,y)=0
命題甲:點P的坐標適合方程F(x,y)=0
命題乙:點P在曲線C上
命題丙:點Q的坐標不適合方程F(x,y)=0
命題?。狐cQ不在曲線C上
已知:命題甲是命題乙的必要而不充分條件,試判斷命題丙與命題丁之間的充要關(guān)系。
解析:∵命題甲是命題乙的必要而不充分條件,即“點P在曲線C上,則點P坐標適合方程F(x,y)=0”為真,∴其逆否命題“點P坐標不適合方程F(x,y)=0,則點P不在曲線C上”也為真?!嗝}丙可以推出命題丁,又命題甲是命題乙的不充分條件,∴命題丁不能推出命題丙?!嗝}丙是命題丁的充分而不必要條件,命題丁是命題丙的必要而不充分條件。
說明:對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題,一般采用等價轉(zhuǎn)化法。
說明:用集合法判斷時,常用圖示法,形象、直觀的簡化過程,降低思維難度,便于學生理解接受。
(四)邏輯判斷法
例4.下列電路圖中,閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件?
解析:
①圖中,A閉合,B亮;而B亮時,A不一定閉合。所以A是B的充分而不必要條件。
②圖中,A閉合,B不一定亮;而B亮時,A必須閉合。所以A是B的必要而不充分條件。③圖中,A閉合,B亮;而B亮時,A必閉合。所以A是B的充分必要條件。
④圖中,A閉合,B不一定亮;而B亮時,A不一定閉合。所以A是B的非充分非必要條件。
三、利用充要條件等價轉(zhuǎn)化命題
直接求解某一個問題比較困難時,可以先尋求它的充要條件,使原問題等價轉(zhuǎn)化成一個比較熟悉的問題,從而使問題順利得到解決。
例5.如果一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍。
解析:方程有兩個不相等實數(shù)根的充要條件為
從而求得k的取值范圍是。
說明:判斷充要條件的關(guān)鍵是抓住推出式,而合理利用數(shù)學定理、集合的包含關(guān)系、邏輯推理證明是判斷充要條件的主要工具。
在充要條件的教學中,對定義的正確理解是基礎(chǔ),正確判斷充要關(guān)系是重點,利用充要關(guān)系解決相關(guān)問題是關(guān)鍵。所以在教學中,要使各類知識融會貫通,合理培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。
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