“精講多練”要求下的數(shù)學概念的教學

 一、通過學生大膽嘗試揭示概念的內(nèi)涵
以往的數(shù)學概念教學中，教師從多種背景、多種層次、多個側(cè)面、多維結構等方面去揭示概念的內(nèi)涵，使學生明確概念的本質(zhì)屬性，但是很多學生即使當時聽懂老師的講解，在遇到自己獨立解決某些問題的時候仍然出錯，另一方面也會助長學生過分依賴教師的思想，總是認為教師講得越多越好，越細越好，越易懂越好，習慣了“聽”的學生對概念的理解難以深刻.美國心理學家桑代克的嘗試錯誤學習理論告訴我們，有些問題學生沒有自己主動提出問題，主動思考，并大膽嘗試，就無法真正理解和掌握.
如：初中時學生已經(jīng)學習解決含絕對值的等式問題，如|x|=2，則x=±2，進入高中解決含絕對值的不等式問題時，卻出現(xiàn)|x|<2，則x<±2，其原因在于學生對于含絕對值的等式問題的解決已經(jīng)進入程序化的思維過程，遺忘了絕對值概念的最為基礎的定義是|x|=x，x>0，
-x，x<0，
同時沒有深入理解“如果a>b，c<0，則ac又如：在學習面面平行的性質(zhì)定理“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”時，即便老師強調(diào)多次需要的三個條件分別為：∵α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，才可以得出a∥b，但是學生卻經(jīng)常會使用為“∵α∥β，aα，bβ，則a∥b”.
以上兩個例子說明，即便是老師特別強調(diào)的不要理解概念上的誤區(qū)，學生在解決實際問題r 時候卻仍然“執(zhí)迷不悟”，有些問題必須讓學生出錯，才能真正明白概念.雖然這樣的方法有時在課堂上學生無法完成對概念更深入的學習，但是學生對于概念內(nèi)涵的理解有時并不是在某一節(jié)課就可以完成的，有時需要幾天，甚至是幾個月的時間才能慢慢掌握，如函數(shù)的概念，所以即使在課堂上學生無法嘗試到從足夠多的角度去理解概念，但是在后續(xù)的學習和練習中，學生可以不斷地補充，完善自己對于某一概念的理解.
二、通過學生自主建構形成概念的體系
概念體系是一組概念中彼此之間存在的一些特定的數(shù)學抽象關系，以往的數(shù)學復習課中，教師一般通過概念圖的方法，將每一個概念在平面上用一個點對應地表示出來，然后用有向線段把有關系的點連接起來.但這種教師總結出來，學生學習的概念圖，充其量僅僅是一個知識梳理的作用，對于學生加深對于概念的理解以及概念彼此之間的抽象關系的掌握并沒有幫助，學生必須通過自主建構形成的概念體系才能促進學生對于概念的深入理解.建構主義學習觀認為：學習過程不只是信息的輸入、存儲和提取，而是新舊經(jīng)驗之間的雙向的相互作用過程，也是學習者與學習環(huán)境之間雙向建構的過程.所以概念體系的形成應該是在學習過程中逐漸建構出來的，而不是學習完成之后總結出來的.
如在學習空間點線面位置關系一章中，學習了直線與平面平行的判定與性質(zhì)后，學生已經(jīng)掌握的概念如下圖：
如此時，學生根據(jù)概念圖很自然地會思考：面面平行能否得到線面平行？線線平行能否得到面面平行？如果可以得到，需要附加什么條件？從而通過自主探究，建構如下圖：
通過筆者日常教學觀察，這部分知識由于相對比較集中，概念彼此之間條件相似性很高，學生經(jīng)常出現(xiàn)即使能夠熟練背誦定理的內(nèi)容，但是在實際應用時仍然出錯，其原因在于沒有理清概念彼此之間的關系和內(nèi)在的聯(lián)系，導致概念的混淆和套用.
三、通過小組合作學習實現(xiàn)概念的應用
概念的應用包括低層次的知覺水平的應用和高層次的思維水平的應用.一般來說，低層次的知覺水平的應用是對概念自身結構和內(nèi)涵的理解，涉及概念體系中其他概念因素較少；高層次的思維水平的應用是一個比較復雜的過程，它需要學習者通過外部信息去激活、選擇和提取相關的概念和命題，并將其與當前問題聯(lián)系起來，經(jīng)過解題訓練，將這些經(jīng)驗內(nèi)化為個體的認知結構.從人的認知結構可知，那些現(xiàn)實的、綜合的、復雜的實際問題，需要使用學過的理論知識綜合地處理才能解決問題，這一類問題沒有統(tǒng)一的解決問題的途徑，沒有程序化的解題模式，運用小組合作討論的教學方法可實現(xiàn)這一部分知識的學習.
如一階遞推數(shù)列的知識中，學生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，由等比數(shù)列的知識學習形如an=pan-1+q（其中p，q為常數(shù)）類的一階遞推數(shù)列不再是難題，但是學生卻并不能理解為何要設an+λ=p（an-1+λ），此時需要老師引導學生從等比數(shù)列的定義an=an-1·p上思考，如果變成了an+λ=（an-1+λ）·p，則構造出了一個新的等比數(shù)列{an+λ}，即an=pan-1+q型的一階遞推數(shù)列問題.由此引導學生小組間合作討論：“除了能加一個
λ外，還有哪些變化呢？”通過互相命題解答，再合作思考討論，學生很自然會出現(xiàn)an+n=（an-1+n）·p這一類錯誤的構造，引發(fā)學生對
an=pan-1+（p-1）n這一類問題的思考及一階遞推數(shù)列的構造關鍵在于什么地方，易錯點在于什么地方，從而實現(xiàn)對數(shù)列定義的深入理解和對等比數(shù)列概念的更深刻的思考，以及以后面對更復雜的一階遞推數(shù)列問題的思維導向，如對于an+xn=（an-1+xn-1）·p的構造.
概念的應用是概念學習中最難的一部分，也是學生從學習到應用的轉(zhuǎn)化過程，不少學生正是由于沒有足夠的時間和機會去觀察、思考和發(fā)現(xiàn)才導致了對于數(shù)學學習的恐懼心理，小組合作學習為學生應用概念和理解概念提供了機會和平臺，通過小組成員之間的互相溝通，互相作用，知識與策略的共享與共融，使得信息的加工更深入，概念的理解更深刻.
【參考文獻】
[1]崔克忍.中學數(shù)學教學論[M].北京：北京師范大學出版社.
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