對(duì)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知及案例分析

 一、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的分類
投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型有多種分類方法，但從大體上可以分為兩類：一類是閉模型，在這類模型中所有產(chǎn)品都被參加生產(chǎn)的部門全部消耗；另一類是開(kāi)模型，在這類模型中產(chǎn)品的一部分被參加生產(chǎn)的部門消耗，而其余部分由其他部門消耗.當(dāng)然我們平常接觸得最多的是開(kāi)模型的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，其按照不同的情況有多種不同的分類方式：（1）按反映的時(shí)期分為動(dòng)態(tài)型與靜態(tài)型.（2）按計(jì)量單位的不同分為勞動(dòng)型、能量型、價(jià)值型、實(shí)物型等.（3）按資料范圍分為國(guó)家型、地區(qū)型、企業(yè)型等.（4）從統(tǒng)計(jì)的對(duì)象分為隨機(jī)型與離散型.（5）按資料的性質(zhì)和內(nèi)容分為報(bào)告期和計(jì)劃期兩類.
二、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的功能
投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型可以清楚地反映國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)以及產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而進(jìn)行情況分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、制訂計(jì)劃及計(jì)劃調(diào)整.其在經(jīng)濟(jì)分析方面有非常多的用途，比如：（1）研究和確定國(guó)民經(jīng)濟(jì)中許多重要的結(jié)構(gòu)分析，如三大產(chǎn)業(yè)之間的結(jié)構(gòu)比例關(guān)系、儲(chǔ)蓄和消費(fèi)的比例關(guān)系等.（2）研究某些產(chǎn)品的價(jià)格變動(dòng)對(duì)其他產(chǎn)品價(jià)格的影響，即對(duì)價(jià)格變動(dòng)幅度的關(guān)系進(jìn)行分析與討論.（3）研究生產(chǎn)與消耗部門之間如果結(jié)構(gòu)發(fā)生變動(dòng)對(duì)各部門所產(chǎn)生影響的相互關(guān)系.（4）研究農(nóng)村教育狀況、農(nóng)村基礎(chǔ)設(shè)施的投入水平對(duì)新農(nóng)村建設(shè)的影響.（5）研究分析污染治理設(shè)施投資對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響和污染治理設(shè)施運(yùn)行成本對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響等.在制訂或調(diào)整計(jì)劃方面，它也有多種用途，比如：（1）對(duì)經(jīng)濟(jì)前景進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)從而制定最優(yōu)發(fā)展規(guī)劃.（2）制定科學(xué)合理的產(chǎn)品價(jià)格.（3）根據(jù)情況變化對(duì)各部門進(jìn)行綜合平衡.（4）預(yù)測(cè)未來(lái)各類需求情況.（5）構(gòu)建各類投資對(duì)經(jīng)濟(jì)貢獻(xiàn)的大小及比例等.
三、投入產(chǎn)出平衡表及基本平衡方程
2.基本平衡方程
產(chǎn)品分配平衡方程：xi=∑nj=1xij+yi （i=1，2，…，n），矩陣形式：x=Ax+y
產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程：xj=∑ni=1xij+Nj（j=1，2，…，n），矩陣形式：x=Dx+z
直接消耗系數(shù)：aij=xijxj （i，j=1，2，…，n）
四、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的案例分析
例1 假設(shè)某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由三個(gè)部門金屬、石油、電力構(gòu)成，每個(gè)部門各生產(chǎn)一種產(chǎn)品，本年度它們的生產(chǎn)和消耗情況如下表所示（單位：億元）.
問(wèn)題：據(jù)預(yù)測(cè)，兩年后總產(chǎn)量需要分別增長(zhǎng)30%，20%，40%，求最終產(chǎn)量的增長(zhǎng)情況.
解 設(shè)該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)計(jì)劃期總產(chǎn)出和最終產(chǎn)品分別為X=x1，x2，x3T，Y=y1，y2，y3T，
則該系統(tǒng)的金屬部門總產(chǎn)量為x1=900（1+4%）=1170，石油部門總產(chǎn)量為x2=800（1+20%）=960，電力部門總產(chǎn)量為600（1+40%）=840.從而
A=0.2780.1250.3330.1110.1880.1670.1690.1250.167，E-A=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833，
Y=E-AX=445.02509.37381.99.故兩年后三個(gè)部門的最終產(chǎn)量分別為：金屬部門445.02億元，石油部門509.37億元，電力部門381.99億元.于是可以預(yù)測(cè)兩年后三個(gè)部門最終產(chǎn)量的增長(zhǎng)幅度分別為：
金屬部門增長(zhǎng)：445.02-350[]350=27.15%，
石油部門增長(zhǎng)：509.37-450[]450=13.19%，電力部門增長(zhǎng)：381.99-250[]250=52.79%.
例2 在上例中，如果市場(chǎng)預(yù)測(cè)四年后的消費(fèi)需求量（最終產(chǎn)量）為y4=600800450，求所需要的總產(chǎn)量.
解 由AX+Y=X得X=E-A-1Y4，
即x1x2x3=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833-1600800450=1.6050.3570.7130.2951.3360.3860.3660.2271.401600800450=1569.451419.501031.65.
即四年后各部門所需要的總產(chǎn)量為：金屬部門1569.45億元，石油部門1419.50億元，電力部門1031.65億元.也就是說(shuō)，我們根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)的需求總量，得到了若干年后所需要的總產(chǎn)量，從而為下一步制訂出科學(xué)合理的計(jì)劃打下了科學(xué)的基礎(chǔ).
五、結(jié)束語(yǔ)
由以上案例可以看出，投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型是一種非常重要的具有深厚意義與價(jià)值的研究工具，不管是對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)的研究還是對(duì)微觀經(jīng)濟(jì)的研究都有無(wú)可替代的作用.當(dāng)然，對(duì)于投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型本身的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束，還有很多需要進(jìn)一步深入研究的地方.目前投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型研究的發(fā)展趨勢(shì)是把投入產(chǎn)出法與線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型等相結(jié)合，從而編制最優(yōu)化模型.
【參考文獻(xiàn)】
[1]趙樹(shù)嫄.線性代數(shù)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1997.
[2]張雙德.經(jīng)濟(jì)與管理中的數(shù)學(xué)方法[M].天津：天津人民出版社，1995.
[3]廣州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室.投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型[OL].2012，[訪問(wèn)時(shí)間：2012-06-28]http：∥jp.gzkjxy.net/2010/sx/jxzy/xs/321.html.