系統(tǒng)思考在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用

案例一 教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題
在某城市有15萬人具有本科以上學歷，其中有1.5萬人是教師，據(jù)調(diào)查平均每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)化為其他職業(yè)，又有1%的人從其他職業(yè)轉(zhuǎn)化為教師職業(yè)，試預(yù)測5年后這15萬人中還有多少人在從事教師職業(yè).
這是一個簡單的差分方程問題，傳統(tǒng)的數(shù)學解法可以用xn表示第n年后從事教師職業(yè)的人數(shù)，yn表示第n年后從事其他職業(yè)的人數(shù)，則有
xn+1=0.9xn+0.01yn，
yn+1=0.1xn+0.99yn.這是含有兩個未知數(shù)列{xn}，{yn}的一階線性差分方程組.如果已知初始值x0=1.5，y0=13.5，用迭代法求差分方程的解，把x0=1.5，y0=13.5代入方程組可得x1=1.48，y1=13.52.
通過計算學生們發(fā)現(xiàn)教師的人數(shù)一直在減少，其他職業(yè)的人數(shù)一直在增加，但教師人數(shù)是不是會一直減少下去而其他職業(yè)的人數(shù)一直增加呢？這種趨勢會不會因為教師和其他職業(yè)之間轉(zhuǎn)化率的改變而改變呢？我們通過Stella對教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)的長期行為進行了模擬.按照題目設(shè)定參數(shù)，運行后的結(jié)果顯示11年后，教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)不再發(fā)生變化.學生們驚奇地發(fā)現(xiàn)，不論教師和其他職業(yè)人數(shù)的轉(zhuǎn)化率為多少，教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)的長期行為都將不會發(fā)生改變，系統(tǒng)最終存在穩(wěn)定狀態(tài).
案例二 捕食者與被捕食者系統(tǒng)
在某個生態(tài)環(huán)境中，貓頭鷹以鼠為食.因此，鼠數(shù)量增加，貓頭鷹數(shù)量也會增加，貓頭鷹數(shù)量的增加，又會使鼠的數(shù)量減少.而鼠數(shù)量減少，由于食物缺乏貓頭鷹的數(shù)量還會相應(yīng)地減少.顯然，它們的數(shù)量關(guān)系是相互制約的.為了更好地研究此生態(tài)系統(tǒng)中鼠和貓頭鷹的相互制約關(guān)系，下面考慮一個簡化“鼠—貓頭鷹生態(tài)模型”.
假設(shè)如果沒有鼠作食物，每個月只有40%的貓頭鷹可以存活；如果沒有貓頭鷹捕食，鼠的數(shù)量每個月會增長20%.如果鼠充足，貓頭鷹的數(shù)量會增加30%，另外平均每個月一只貓頭鷹可以吃掉鼠1000p只，我們把p稱為捕食參數(shù)，當捕食參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)也會隨之發(fā)生變化.如果用xn表示第n年后貓頭鷹的數(shù)量，yn表示第n年后鼠的數(shù)量，則有差分方程
xn+1=0.4xn+0.3yn，
yn+1=-pxn+1.2yn.

如果已知初始值x0和y0，用迭代法求可以求出差分方程的解.但對于p的不同取值，生態(tài)系統(tǒng)會發(fā)生什么樣的變化呢？
首先建立系統(tǒng)模型，嘗試p分別取值0.1，0.2，0.3時，STELLA運行結(jié)果顯示，貓頭鷹和鼠的數(shù)量呈現(xiàn)出指數(shù)增長；而嘗試p值為0.4時，運行結(jié)果顯示貓頭鷹和鼠的數(shù)量在逐年增加后趨于穩(wěn)定狀態(tài)；最后嘗試p的取值大于0.4，貓頭鷹和鼠的數(shù)量先逐年增加，然后不斷地減少直至滅絕.
從以上的運行結(jié)果學生們清晰地看到，經(jīng)過充分長的時間之后，當捕食參數(shù)小于0.4時，兩個種群都會增長，生態(tài)系統(tǒng)不斷膨脹；當捕食參數(shù)等于0.4時，兩個種群數(shù)量都趨于一個穩(wěn)定值，生態(tài)系統(tǒng)趨于平衡；當捕食參數(shù)大于0.4時，兩個種群終將滅絕，生態(tài)系統(tǒng)崩潰.
我們用情境教學的方法力求每名學生都能在輕松氛圍中學到知識，從而激發(fā)學生學習的興趣.以課本知識為基礎(chǔ)，設(shè)立系統(tǒng)的情境教學，讓學生自己發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)思考的微妙法則，建立系統(tǒng)思考的基本概念，讓學生在學中玩兒，在玩兒中學，逐步讓教師的教授式學習退出課堂.實踐證明，通過系統(tǒng)的思考及Stella的模擬，加深了學生對問題的理解，并進一步明確了變量之間的關(guān)系，為提高學生運用系統(tǒng)思考的方法在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力起到了推動作用.
【參考文獻】
[1]吳錫軍，袁永根.系統(tǒng)思考和決策試驗.南京：江蘇科學技術(shù)出版社，2001.
[2]吳錫軍.系統(tǒng)思考與系統(tǒng)動力學教程.南京：江蘇科學技術(shù)出版社，2009.