一種新的自適應MCMC方法在金融市場風險VaR計算中的應用

1前言

伴隨著經濟和金融全球化的進程不斷加快，金融環(huán)境和金融市場也發(fā)生了重大的變化，金融工具所蘊含的風險結構日益復雜。金融機構的這些危機也使監(jiān)管當局頻頻出臺新的政策,對風險管理提出了嚴格的要求。風險價值（Value-at-Risk，縮寫VaR）理論正是在這個背景下產生的一種描述不同市場風險的度量方法。和傳統的衡量風險的方式不同，VaR提供了綜合分析投資組合的方法，即通過綜合杠桿、相關性和目前頭寸等因素得出結論。因其具有的前瞻性，VaR方法不僅適用于金融衍生品，也適用于其他金融工具，可從衡量市場風險擴展到衡量其他任何類型的金融風險[1]。

目前，對VaR的應用研究大多基于經典統計學推斷，如常用的矩估計、極大似然法等，它們的主要缺點是計算結果的可靠性會受VaR低頻高損的風險特點的影響[2]。針對現有VaR計算中主流方法的缺陷，本文提出了一種新的馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法——自適應Metropolis抽樣方法，以我國股票市場投資風險的VaR模型為例，基于上證綜合指數的變化，將自適應Metropolis方法應用于整個滬市大盤VaR的計算，并與傳統的MCMC模擬結果比較，以考察自適應Metropolis方法在求解VaR時的優(yōu)劣。

2 VaR模型介紹

2.1 VaR的定義

VaR是度量有價證券潛在金融風險的一種基本方法，其核心在于構造證券組合價值的概率分布。VaR的基本思想是利用資產收益率的歷史信息來推斷將來的情形，并用一個概率分布，而非一個確定的值，對未來價值波動的給出推斷[3]。VaR可定義為，在一定持有期內，在一定的統計置信區(qū)間內，某一金融資產或證券組合所面臨的最大潛在損失[4]。用數學公式表示：

                                         （1）

其中，為在持有期內某一資產（或資產組合）的市值變化，則表示給定的置信水平。更具體地說，就是在一定的市場條件下，對某一有價證券，對給定的時間區(qū)間和置信水平，VaR給出了該有價證券最大可能的預期損失。例如，某機構每天交易的有價證券在95%置信水平下，日VaR值為2000萬美元，其含義是，在正常市場條件下，今后24小時內發(fā)生大于2000萬美元虧損的概率只有5%，指出了該機構面對的市場風險以及出現不利情況的概率[4][5]。

2.2 VaR的計算方法

假設為初始投資金額，作為資產（資產組合）在持有期內隨機的收益率，同時假設頭寸是不變的，則該投資組合價值在時間期滿時為?？煽醋魇且粋€隨機變量，其年度均值為，方差為。投資組合在某一給定置信水平下的最低回報率為，則在該置信水平下的最低價值。那么VaR可表示為公式：

                                    （2）

由上式可見，如果已知某置信水平下的和，就可以求出某投資組合在該特定置信水平下的VaR值。也可以說，持有期的長短、置信區(qū)間的大小和未來資產組合價值的分布特征是計算VaR值的三大要素。持有期即計算價格變動的時間間隔，持有期的選擇需權衡諸多因素，通常持有期越長，預期的價格變化就越大，計算結果的風險也越大。置信度的選擇則反映了投資者的風險偏好以及從事交易的謹慎程度。通常，金融機構采用的置信區(qū)間是90%-99%的范圍。

在VaR計算過程中，存在的一個主要難點是證券（投資）組合的價值函數往往與市場因子呈非線性關系，而且市場因子的分布也往往不滿足正態(tài)分布。目前計算VaR的主要方法包括歷史模擬方法（Historical Simulation）、分析方法（方差-協方差方法）(Variance-covariance method)以及蒙特卡羅模擬方法(Monte Carlo Simulation)。歷史模擬方法是一種非參數方法，對金融資產的回報不需要作分布上的假定，困難之處在于該方法要求大量的歷史數據，計算量較大，原因在于必須對證券組合中每一個金融工具進行估價 [6]。分析方法是一種利用證券（投資）組合的價值函數與市場因子間的近似關系、市場因子的統計分布來簡化計算方法，其優(yōu)點是簡化了VaR的計算，但要求市場因子必須服從正態(tài)分布、價值函數非線性程度低，而現實中往往無法滿足這兩個假定。為了克服分析方法在處理非線性證券組合時的缺陷，蒙特卡羅模擬法逐漸成為近年來學術界研究VaR計算的主流方法，但其本身也存在計算效率較低以及維數高、靜態(tài)性兩個重要缺陷。傳統的蒙特卡羅模擬方法難于從高維的概率分布函數中抽樣[3]。此外，經濟問題中的變量都具有時變性，而蒙特卡羅模擬法采用抽樣方法產生隨機序列，均值和協方差矩陣不變，用靜態(tài)的方法處理時變變量時難免會產生一定的偏差。為此，王春峰等（2010）[7]提出了一種基于MCMC模擬的VaR計算方法，提高了估算精度，較好地克服了傳統蒙特卡羅法的高維、靜態(tài)的缺陷，其關鍵之處是運用MCMC方法估計分布的參數，即均值向量和協方差矩陣。

3 自適應Metropolis方法

MCMC方法是一種有效工具，適用于復雜統計模型的貝葉斯計算，它能將一些復雜的高維問題轉化為系列簡單的低維問題。MCMC方法基于貝葉斯理論框架，通過建立平衡分布為的馬爾可夫鏈，并對其平衡分布進行采樣，不斷更新樣本信息，使馬爾可夫鏈能充分搜索模型參數空間，并最終收斂于高概率密度區(qū)。因此，MCMC方法是對理想的貝葉斯推斷過程的一種近似。

MCMC方法的關鍵在于構造有效的推薦分布，確保按照推薦分布抽取的樣本收斂于高概率密度區(qū)。推薦分布的構造不同，導致的MCMC方法也不同。Gibbs采樣方法[8-9]和Metropolis-Hastings[10]方法是目前在貝葉斯分析中應用最為廣泛的MCMC方法，關鍵是確定參數的推薦分布和參數相關性的處理。由于參數先驗信息較少，對于復雜模型來說，算法推薦分布的選擇存在較大的不確性，導致參數最大后驗概率密度區(qū)的推求非常困難，算法收斂速度十分緩慢。本文在前人的研究基礎上，針對傳統MCMC模擬方法存在的計算效率低的缺陷，提出了一種基于自適應Metropolis抽樣的VaR計算方法。

3.1 自適應Metropolis抽樣原理

針對常用MCMC抽樣方法存在的搜索速度緩慢的問題，Haario等(2001)提出一種自適應的Metropolis算法。相比傳統的Metropolis-Hastings算法，自適應Metropolis不再需要預先確定參數的推薦分布，而是由后驗參數的協方差矩陣來進行估算。后驗參數的協方差矩陣在每一次迭代過程后能自適應調整。第步參數的推薦分布定義為均值為，協方差為的多元正態(tài)分布形式，協方差矩陣計算定義如式（3）所示。

                          （3）

上式中：為初始協方差，在初始采樣次數時，為克服算法初始階段采樣不穩(wěn)定的影響，協方差取固定值；為一個較小的常數，以確保不成為奇異矩陣；為比例因子，依賴于參數的空間維度d，建議[10]；為d維單位矩陣。

第次迭代時，協方差計算公式可由式（4）推得：

                  （4）

式中：為前次迭代參數的均值；為前次迭代參數的均值。

自適應Metropolis的關鍵問題首先是定義第步參數的推薦分布，其次是定義接受概率，用于判斷是否接受新產生的子本。AM算法的優(yōu)勢在于推薦分布隨計算過程自動更新，不再需要事先指定。與傳統M-H算法相比，參數同時更新，不再需要分組更新，大大減少了計算量。

                               （5）

自適應Metropolis的搜索遵循如下流程 [11]：

(1) 初始化，；

(2) 狀態(tài)隨機產生和接受；

(a) 根據公式（3）計算；

(b) 產生候補樣本；

(c) 根據公式（5）計算接受概率；

(d) 產生隨機數；

    (e) 若接受，否則；

(3) 重復(a)-(e)直到產生足夠的樣本為止。

3.2 算法收斂準則

自適應Metropolis算法應用上的一個關鍵是判斷采樣序列是否收斂到參數后驗分布。理論上，一個各向同性的采樣器在時必將收斂，但在實際應用中，我們必須確定算法收斂于穩(wěn)定的后驗分布所需要進行的采樣次數。Gelman和Rubin在1992年提出了一種定量收斂判斷指標對計算終止進行判斷，稱為比例縮小系數，計算基于每條馬爾可夫鏈的方差，如式（6）所示。當采樣序列的比例縮小系數接近1.2時，判斷算法收斂于穩(wěn)定的后驗分布。

                              （6）

4 案例研究

4.1 數據

下面以我國股票市場投資風險的VaR模型為例，基于上證綜合指數的變化，將自適應Metropolis方法應用于整個滬市大盤VaR的計算，以考察自適應Metropolis方法在求解VaR時的優(yōu)劣。采用的樣本數據是上證綜合指數每日收盤價，樣本區(qū)間從2005年1月4日至2009年12月31日的（時間以交易日為準），共計1215個樣本，樣本數據近似服從多元正態(tài)分布。定義某一時間的收益率公式為，其中為上證綜合指數在時刻的價格。

4.2 結果與討論

根據樣本歷史數據，運用自適應Metropolis方法估計分布的參數，即均值向量和協方差矩陣。根據參數模擬市場因子未來變化的情景，計算投資組合未來的潛在損益，最終得出給定置信水平下的VaR值。自適應Metropolis算法的參數設置：初始樣本數為2000，馬爾可夫鏈為2條，馬爾可夫鏈長為20，計算次數為20000。舍棄每次采集樣本前500個以消除初始化階段的影響，具體模型計算過程通過Matlab語言實現。

將自適應Metropolis方法抽樣所得的樣本進行分析，可得參數和的基本統計性質。這兩個參數的均值分別是0.213和0.017，方差為0.664和0.004，中值為0.218和0.018。概率2.5%時兩參數值分別為0.196和0.0153，而概率為97.5%時為0.291和0.021。接著，將參數估值代入公式（2），可求得各置信水平下的VaR值，對比分析由自適應Metropolis算法、Gibbs抽樣方法及極大似然方法估算所得的VaR值,可得結果：

1）置信水平和VaR值成正關，即置信水平越高，VaR值也就越大，這體現了投資者對風險的不同偏好。對風險厭惡型的投資者來說，在量化風險時為了降低投資風險，需要較高的置信水平，以便更加準確地鎖定風險；而風險喜好型的投資者承受風險的能力比較大，在計算風險時可設置相對低的置信水平。如：置信水平在90%時，自適應Metropolis方法、Gibbs抽樣方法、極大似然方法的VaR值分別是2.573，2.406和2.316，而置信水平為95%時，分別為2.926，2.917和2.904；99%時的數值為3.206，3.125和3.408。

2）基于自適應Metropolis方法和Gibbs抽樣方法的各置信水平下的VaR值要大于傳統的極大似然方法，這是由于自適應Metropolis方法和Gibbs抽樣方法把分布的參數看作了隨機變量，實際上增加了上證綜合指數收益率分布的不確定性，因此，計算出的金融風險值一般大于把參數看作固定值時的風險值。

3）根據算法收斂判斷準則，自適應Metropolis方法達到收斂需要的模型運算次數為2890，而Gibbs抽樣方法需要進行6540次的迭代，自適應Metropolis的收斂效果優(yōu)于傳統的Gibbs抽樣方法。

4）根據算法運算時間看，自適應Metropolis方法的運算時間為77s，而Gibbs抽樣方法需要185s的運算時間，前者的搜索性能要優(yōu)于后者，究其原因，主要是自適應Metropolis方法的協方差矩陣隨著抽樣過程能自適應的調整，確保馬爾科夫鏈朝著最高后驗概率密度區(qū)進化，最終收斂于一個平穩(wěn)的目標分布。

5 結論

本文針對傳統MCMC方法計算VaR值時存在的缺陷，提出了一種自適應Metropolis抽樣方法。以我國股票市場投資風險的VaR模型為例，基于上證綜合指數的變化，將自適應Metropolis方法應用于整個滬市大盤VaR的計算，分析了新方法在推求模型參數后驗分布的搜索性能和效率，計算結果表明，自適應Metropolis抽樣方法能有效確保參數推薦分布向目標后驗概率分布演化，且參數推薦分布在計算過程中自動更新，其整體計算效率和解的精度要明顯優(yōu)于傳統的MCMC算法，是求解股票市場的不同置信水平VaR值的高效方法。此外，將這種比較新的模擬方法應用到金融領域中，克服了基于經典統計學推斷估計VaR不準確的缺陷。

參考文獻：

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